Пищови по висша математика

Пищови по висша математика

Въпрос- 15 . Определен интеграл

Основното понятие в интегралното смятане  е понятието определен интеграл. Възниква в трудовете на Нютон и Лайбниц, като “сума на безкр малки величини”, което се е схващало по скоро интуитивно, отколкото поддаващо се на точно определение. Тази идея се оказва плодотворна за приложенията му в природните науки. Ключов момент в работатта на Н и Л е установяването на връзката м/у определения интеграл и производната, която дава възможност за пресмятането на  определените интеграли с помощта на знаменитата формула на Нт-Лц. Тук е мястото да споменем че идеята за “Сумиране на безкрайно малки величини” се среща и преди Н-т иЛ-ц, още в работите на Архимед, Кеплер и др.но те не са разполагали със такава мощна ф-ла за пресмятане на тези суми.Точно определение на понятието определен интеграл от съвременна  гледна точка е дадено едва през средата на миналия век, когато Риман и Дарбу дават две еквивалентни негови определения, котито водат до понатието, известно днес като Риманов интеграл. Впоследствие теорията на итеграла бележи бързо развитие в работите на Жордан , Лебег и Стилтес, които подлагат на анализ основните принципи на итегрално смятане и свързват тези принципи с

Изграждането на точна неория за измерването на дължините, лицата и обемите.Така Лебег обобщава понятието мярка и изгражда нова обща теория на интегрирането, като стига за понятието интеграл, известно днес като Лебегов интеграл. По късно Стилтес въвежда ново понятие за интеграл, известно като интеграл на Стилтес, което е основен инструмент в теорията на вероятностите и математическата статистика. С интегралите на лебег, Стилтес, и Лебет-Стилтес се интегрират значително повисоки класове от функции, отколкото с Римановия интеграл. За приложенията обаче Римановия интеграл не е загубил своето значение, тъй като неговата конструкция е значително по проста, от тази на Лебеговия, а и той позволява да се интегрират достатъчно широки класове от функции, каквито се срещат в приложенията.Формулата на Н-т –лайбниц е ключ  за пресмятане на определени интеграли:

І. Интуитивен подход към понятието определен интегррал.Нека f(x) е ограничена функция в инт (a,b)където a<b,

Когато f(x)  е неотрицателна т.е. f(x)  >  0 за всяко х £,(а,в), сумите на Дарбу и Риман, може да бъдат изтълкувани геометрично като лица на определени фигури, обединени от правоъгълници.Риманованта междинна сума (sa) е заключена м/у малката и голяма сума на Дарбу (sa  Sa|.Основната идея за  интегралното смятане е че когато дължината на к-я интервал на разбиването  е «малка», то лицата на к-тото вписано и описано правоъгълниче ще бъдат приблизително равни на лицето на тази част от криволинейния трапац, заключена м/у тях.По общо, когато огр функция е с произволен знак и сумите на Дарбу и Риман не изразяват непремнно лицата на начупените фигури, интуитивно е ясно, че итози случа при поцеса на издребняване на разбиванията тези суми евентуално ще се приближават все повече и повече към едно и също число I. Ако това се случи ще казваме, че функцията f(x)  е интгрируема в Риманов смисъл в итервала  (а,в), а числото I ще се нарича Риманов определен интеграл от ф-цията¦(х ) в [а,в]и ще бележим с

I =ò ab f (х)dx.    f (х) се нарича подинтегрална функция, а числата а и в съответно  долна и горна граница на определения интервал.Неопределиня интеграл е фамилия от примитивни функции от видаF(х) +С, зависещи от интеграционна та променлива х и произволна константа С .За разлика от неопределения интеграл, определения интеграл е число  ò ab f (х)dx, зависещо само от интегрируемата поинтегрална функция ò a и от краищата  а  и в  на интервала (а,в) върху които се интегрира, но независи от това скаква буква е означена интеграционната променлива х.

Своиства:Т1(линейност на итеграла)Нека¦(х) и g(х) са интегр. функции в итерв /а,в/. Тогава в него са интегр ¦(х) + g(х) и ¦(х) *g(х) като в частност е интегр и функц l¦(х) за произволно lÎR , като са изпълнени равенствата. ò ab [¦(х) + g(х)]dх = ò ab[¦(х) + ò abgх]

Теорама T2 (адитивност на интеграла)Нека с е пр число за което а<с< b.Тогава ¦(х)е интегр в итервала аb , точно когато е интегр в интервалите ас и сb

Теорема 3 (позитивност на интеграла) Нека а<b и нека  ¦(х) е интегр функция в итервала аb , такав че ¦(х)³0 за всяко х Î[аb]. Тогава е в сила неравенството ò¦(х)dx³0.

Теорема4(монотонност на интервала)

Нека а< b и нека  ¦(х)  и g(х)е интегр функция в итервала аb , такива че  ¦(х)£  g(х) за всяко х Î[аb].   Тогава е в сила неравенствотоò¦(х)dx £ òg(х)dx.

Въпрос №16 Несобствени интеграли

При дефиниране на понят опр интеграл , се посочва че подинтегр ф-я е ограничена в инт [а ,b].

В случаите когато определения итеграл   при който интеграционния интервал е безкраен   или подинтегралната функция е неограничена се стига до понятието  итеграл в несобствен смисъл или накратко несобствен итеграл. За разлика от несобствените итеграли Риминовите интеграли се наричат интеграли в собствен смисъл.

1.Несоб. интег с безкр интегр граници. Нека ¦(х) е дефинирана в безкр инт[а,+¥) и е интегрирана във всеки негов краен подинтервал[а,р] Тогава за всяко р>а ще съществува опр интеграл и той ще бъде функция F(р)@¦(х)dх на пром р  дефинирана за р Î[а,+¥]. Ако съществува като крайно число границата на функцята F(р) при р ®+¥, то тази граница се нарича  несобствен итервал от функцията ¦(х)  в итервала [а,+¥] и се бележи с аò+¥¦(х)dх, т.е аò+¥¦(х)dх = lim,p®+¥ аòp¦(х)dх.  Втози случай се казва че ¦(х) е интегрирумеа в несобствен смисъл в интервал [а,+¥) и че несобствения интеграл аò+¥¦(х)dх е сходящ, като за негова с-ст се приема границата от дясната страна на деф равенство.Геом тези опр се тълкуват по сл начин:когато ф е неотр, то за произв р>а определения интеграл F(р)= аòр¦(х)dх ще изразява лицето на кр. Трапец, закл м/у граф и функц ¦(х) и интервала [а,р) от абс. Ос

Т1(обобщена ф Нютон-Лайбниц) Нека функцията¦(х) е непрекъсната в интервала[а,+¥) и нека Ф(х) е коя да е нейна примитивна ф-я в този интервал.Тогава несобствения интеграл аò+¥¦(х)dх е сходящ точно когато, когато тази примитивна граница притежава крайна гр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 21

Една величина Х : W®R се нарича непрекъсната случайна величина, когато множеството от нейните стойности  е неизброимо множество, например когато съдържа цели интервали от реалната ос R. F(х)=Р(Х<х)=-¥òх ¦(t)dt

Където ¦(х) е неотрицателна функция която е интегрируема в несобствен смисъл в интервал( -¥, +¥),

Равномерно разпределена - ХÎ[а,b], ако нейната плътност ¦(х) е постоянна в този интервал ,а вън от него е тъждествено равна на 0. Т.е има вида

0, когато xÏ[a,b]

¦(x)={C, когато xÎ[a,b]

където С е положителна константа която трябва да бъде =1/(b-a) тъй като         -¥ò+¥ ¦(t)dt=aòb ¦(t)dt = C(b-a) = 1.

Експоненциално – казваме че непрекъснатата случ вел Х има експ разпр с параметър l>0 ако нейната плътност ¦(х) има вида:

 

0, когато x<0

¦(x)={le на степен -lx,      когато x³0

Лесно се пресмята че ф-ята на разпр F(x)=-¥òx¦(t)dt на една експон разпределена случ вел Х има вида:

0, когато x<0

F(x)={1-le на степен -lx,      когато x³0

Лесно се пресм че мат очакв, дисперсията и стандартното отклон на една равномерно разпред случ вел Х се изразяват с формулите: E(X)=1/l, D(X)=1/l на кв, s(X)=1/l. Те показват че за експ разпред случ вел стандартното отклонен е = на мат им очакване.

Нормално разпред – една непрек случ вел Х е нормално разпред ако нейната плътност ¦(x) има вида: ¦(x)=1/s.Ö2p*e на степен –(x-m) на кв/2.s на кв, където m и s>0 са реални параметри.

Въпрос 17

Случайни събития

Понятието опит е първично в Теория на вероятностите (ТВ). Възможвните изходи от опита се наричат ел –тарни събития настъпващи в резултат на извършване на опита. Множеството W от всички възможни изходи от опита се нарича пространство от елементарни събития настъпващи в резултат на изв на опита. Ако при извършването на сл опит се наблюдава резултата wÎW ще казваме че е настъпило елементарно събитие wÎW. Когато пространството от ЕС е крайно множество под сл събитие ще разбираме кое да е подмножество А ÎW. Казваме че събитието А е настъпило когато е настъпило елементарното събитие w ÎА, т.е wÎW.

Понятието вероятност е едно случайно събитие АÎW и е основно понятие , което има за цел да характеризира количествено до колко случ събитие А може да настъпи или да не настъпи в резултат на извършването на опита. Казваме че дадения опит е построен вероятностен модел(W,Р), когато на всяко елементарно събитие w е съпоставено неотрицателно число Р (w), което наричаме вероятност на елементарното събитие w.

Видове вероятности:

1.Класическа вероятност – Р(А) на едно събитие А=(wi1,wi2,….,wik) ÎW се дефинира като отношението Р(А)=k/n=A/W

2. Условна вероятност – Р(В|A) – за настъпване на събитието В при условие , че се е сбъднало събитието А с вероятност Р(A)>0 се разбира частното Р(В|A)=Р(АВ)/Р(А). От равенството следват така наречените формули за умножение на вероятности.

Р(АВ)=Р(А).Р(В|А) – за умнож на 2 вероятности.

Р(АВС) = Р(АВ).Р(С|АВ) = Р(А).Р(В|А).Р(С|АВ) – за умнож на вероятности на 3 събития.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 22

Гранични теореми – това са най-важните теор в теор на

вероят и мат статистика.

Т1(нерв на Чебишов) – нака Х е случ вел скрайно математ очакване ЕХ и крайна дисперсия DX. Тогова за всяко e>0 е в сила нерв на Чебишов P(½X - EX½³e)£DX/e на кв. Казваме че една редица от случ вел Х1,Х2,...,Хn, клони по вероятнокт към случ вел Х ако за всяко e>0 велоятността

P(½Xn - X½<e)®1при n®¥. лесно се доказва че редицата от случ вел Х1,Х2,...,Хn, клони по вероятност към случ вел Х точно когато за всяко e>0 вероятността

P(½Xn - X½³e)®0 при n®¥.

Т2(Закон за големите числа) – нека Хn е редица от независими случ вел които имат една и съща ф-я на разпр и 1 и  също крайно мат очакване Е(Xn)=m, и чиято редица от дисперсии D(Xn) е ограничено. Тогава редицата Х1+Х2+...+Хn/n от техните средни аритметични клони по вероятност към математ очакване m, т.е. за всяко e>0 вероятността P(½Х1+Х2+...+Хn/n - m½<e)®1 при n®¥

Т3(Теорема на Бернули) – нека nn е бр на “успехите” в схемата на Бернули от типа (n,p) т.е. бр на благоприятните изходи при n бернулиеви опита, където p е вероятността за благопр изход. тогава за вс e>0 вер P(½nn/n-p½<e)®1 при n®¥.

Т4(централна гранична теорема) – нека Xn е редица от независими случ вел които имат една и съща ф-я на разпредел с крайно мат очакване Е(Xn)=m и дисперсия D(Xn)=s на кв. За n=1,2,3.. да разгледаме редицата от случ вел:

Yn=Х1+Х2+...+Хn-nm =

sÖn

=[ Х1+Х2+...+Хn - m] :  s

n                   Ön

тогава редицата от техните ф-ции на разпр

FYn(x)®  1   -¥òxe на стeп

Ö2p

-t на кв в/у 2 .dt , за всяко х в инт (-¥,+¥) при n®¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 18 Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)- Р(АÇВ) – събиране на 2 вероятности.

Р(АÇВ)=Р(В).Р(А|В)= =Р(А).Р(В|А).

Р(А|В)=Р(АÇВ)/Р(В)= =Р(В|А)=Р(АÇВ)/Р(А)

Теорема за пълна вероятност  Ако А1, А2,...Аm, образуват пълна група от събития и Р(Ак)>0, к = 1,2,3......m, то за всяко събитие АÎW е в сила формулата за пълната вероятност:

Р(А) = Р(А1)Р(А|А1)+ Р(А2).Р(А|А2)+....+ Р(Аm).Р(А|Аm).

Теорема на Бейс – Ако А1, А2,...Аm, образуват пълна група от събития и Р(Ак)>0, к = 1,2,3......m, то за всяко събитие АÎW  с вероятност Р(А)>0 е в сила формулата на Бейс:

Р(Ак|A)=P(Ak).P(A|Ak)/ P(A1).P(A|A1)+ P(A2).P(A|A2)+…+ P(Am).P(A|Am).

Р(Нi|А)=Р(А|Нi).Р(Нi)

                       Р(А)

Условна вероятност – Р(В|A) – за настъпване на събитието В при условие , че се е сбъднало събитието А с вероятност Р(A)>0 се разбира частното Р(В|A)=Р(АВ)/Р(А). От равенството следват така наречените формули за умножение на вероятности.

Р(АВ)=Р(А).Р(В|А) – за умнож на 2 вероятности.

Р(АВС) = Р(АВ).Р(С|АВ) = Р(А).Р(В|А).Р(С|АВ) – за умнож на вероятности на 3 събития.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 11 .

Числови редици –

1.безкрайна числова редица aı,a2,...an,от реални числа ще наричаме всяка функция ¦  с дефиниционно множество- множество от естествени числа N = {1,2,3,....n.}, която приема стойностите си  an=¦(n),nÎN в множеството на реалните числа R. Отделните стойности на тази функция се наричат членове на редицата aı,a2....an, а стойността на an =¦(n), където п е произволно естествено число от Nсе нарича общ член на редицата.

Граница на безкрайна числова редица. Казваме че една редица от реални числа  е сходяща и има граница числото а, когато за всяко положително число e съществува число N=N(e), евентуално зависещо  от eтака че всеки номер n>N е изпълнено неравенството |an - a| < e .

Факта , че a е граница на редицата an, се бележи символично a = lim an, или an ®a, където n®¥.

Аритм действия със сходящи редици.

Т1Нека редиците аn и bn са сходящи  и нека an ®a, bn®b, тогава редиците an+bn , an.bn са също сходящи и an+bn® a+b и an.bn® a.b. ако предположим че bn¹0 b¹0, то редицата an/bn също ще е сходяща. an/bn® a/b.

Т2 .Граничен преход в неравенствата- ако an®a и bn® b и аn £ bn, за всяко nÎN, то а£ b . т.е

lim а £ lim b

Монотонни редици –монотонно растяща при

аn £ an+1е изпълнено за всяко nÎN.

Строго монотонно растяща,монотонно намаляваща.Всяка монотонно растяща е ограничана отдолу от своя първи член , а всяка монотонно намаляваща редица е ограничена от своя първи член.

Неперово число

е=lim(1+1)ⁿ

n

фундаментална константа в математиката като числото p.

Непрекъснати функции:

Опр.1(Хайне)Нека функцията¦(х) е дефинирана в множеството

D.Ще казваме че същата функция е непрекъсната  в точката хoÎD, когато за нсяка редица хnÎD, хn®х0 съответната редица от стойности на функцията ¦(n)®¦(х0).

Т2(Коши) нека ¦(х) е  дефинирана в множеството D. Ще казваме че функцията е непрекъсната в точката х0ÎD, когато за всяко e>0, съществува d=d(e)>0, така че за всички хÎD, за които |х-х0|<d, е изпълнено неравенството |¦(х) - ¦(х0)|<e

Определенията на Хайне и Коши за непрекъсната функция в точка са еквивалнтни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 19 . случайни величини  - величини които характеризират  количествено разли  феномени, свързани със случайния опит са реалните функции Х:W®R, които изобразяват пространството от елементарните събития W в  множеството от реалните числа. Една такава функция се нарича случайна величина, когато за всяко реално хÎR множеството {Х< х}@{wÎW:Х(w)< х} е събитие в W. Когато пространството W={w1,w2....}е изброимо множество , последното условие е изпълнено за всяка реална функция Х:W®R, която ще приеме краен брой стойности .

За случайните величини е характерно, че една и съща може да приема разл стойности при всяко ново извършване на опита. Поради това не е достатъчно да се знае какви стойности тя може да приема, а с какви вероятности е възможно да се приемат тези стойности. В случай че тази вероятност е известна за всеки интервал [a,b), казваме че е известен законът за разпределението на случайна величина Х.

Функцията F(х)= Р(Х<х) се нарича функция на разпределението  или интегрален закон за разпределение на една случайна велчина Х. F(х) е монотонно растяща и непрекъснато отляво в дефиниц си множество

(-¥,+¥). За всяко           хÎ(-¥,+¥)  са всила неравенствата 0£ F(х)£1 при което F(-¥) = 0,

F(+¥) = 1.

 

 

 

 

 

 

Въпрос 13

Въпрос 20.

Когато W = (w1,w2.....wn) е крайно множество, всяка случайна величина

Х :  W®R, ще приема краен брой стойности.{Х(w1), Х(w2),..... Х(wn) , такива случайни величини се наричат  дискретни случайни величини. По общо за произволен вероятностен модел(W,Р), една случайна величина

Х : W®R, се нарича дискретна случайна величина когато множеството от нейните стойности е изброимо (крайноили безкрайно) множество. Съответно една величина Х : W®R се нарича непрекъсната случайна величина, когато множеството от нейните стойности  е неизброимо множество, например когато съдържа цели интервали от реалната ос R.

Дискретни разпределения и техните числови х-ки.

Биномно разпределние – Х приема целите стойности 0,1,2,...n  с вероятности

Поасоново разпределение – Х приема безброй много цели стойности 0,1,2, .....к, с вероятности Рn(Х=к)= l/к! . е , където l>0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 12

Основни Т на деференциалното смятане

Локални ексремуми – лок мах във вътрешна точка , една функция има локален мах във вътрешна точка  х0 от деф множ D , ако същ нейна околност

( х0-d, х0+d), в която стойността ¦(х0) е най голяма стойност на функцията т. е ¦(х)£¦(х0) за всяко х Î на този интервал ( х0-d, х0+d).

Локален минимум  – лок мин във вътрешна точка , една функция има локален мин  във вътрешна точка  х0 от деф множ D , ако същ  околност ( х0-d, х0+d),

в която стойността ¦(х0) е най малка  стойност на функцията т. е ¦(х)³¦(х0) за всяко х Î на този интервал ( х0-d, х0+d).

Локалния минимум се нарича строг, когато нер ¦(х)>¦(х0) е изпълнено за всяко хÎ( х0-d, х0+d).Общо се наричат локални екстремуми.

Т1 (на Ферма)Ако една функция има локален ексремум във вътрешната точка х0 на нейното деф множество Dи е деференцуема в тази точка, то нейната производна е равна на 0( ¦¢(х0)=0).

Т2 (на Рол)Нека функцията ¦(х) е непрекъсната в крайния   й затворен интервал [ а, b]  и е деференцуема поне в отворения интервал  ( а,b) и нека ¦(а)=¦(b). Тогава съществува поне едно число xÎ(а, b), за което ¦¢(x)=0.

Т3(на Лангранж)Нека функцията ¦(х) е непрекъсната в крайния й затворен интервал [ а, b]  и е деференцуема поне в отворения интервал  ( а,b) .Тогава съществува поне едно число xÎ( а,b), за което

¦¢(x)= ¦(b)-¦(а)

b – а

Т4(правилона Лопитал).Нека точката х0Î[ а, b]  (при това не е изключена х0 да съвпада  с крайщата на интервала а или b). Нека функциите ¦(х) и g(х) са дефинирани и дефиринцуеми  поне за всяко хÎ(а,b), х ¹х0, и нека g¢(х) ¹0 за всяко  хÎ(а,b), и

х ¹х0. Нека освен това съществуват границите  lim¦(х) = 0   и

х®¥

limg(х)= 0

х®¥

Тогава ако съществува границата

lim¦¢(х)   =    А,

х®¥g¢(х)

то съществува и границата lim¦(х)  ,

х®¥g(х)

която също е равна на А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.въпрос- Матрица от тип

m х n ще наричаме всяка правоъгълна таблица, състояща се от m х n на брой елемента, аij  i =1,....,m,

j=1,....n,,разположени в m  хоризонтални реда и n вертикални стълба. Матр се записват като таблици заградени със скоби:

а11,а12,....а1n

А=Аmxn= а21,а22,....а2n

........................

аi1, аi2, ....   аin

аm1,аm2,....  аmn

номера на реда е i=1.......m, номера на стълба е j= 1......n

понякога се записват кратко А=( а ij) или като               А= ( а ij)m x n.

Типове :

-тип 1 х n , нарича се матрица –ред или вектор –ред,състои се само от един ред

-тип m x 1 се състои само от един стълб и се  наричат матрица- стълб

-матр чиито елементи са 0 се нарича нулева

въобръжаемата права съед елементите по диагонал а11,а22,а33,....аnn , се нарича главен диагонал.

Долна триъгълна, когато всички елементи под гл. диагонал са нули. Горно триъгълна, когато всички елементи над гл. диагонал са нули.Детерминантата на всяка матрица е равна на произведението от елементите на главния диагонал.

Действия с матрици:

Сума A+B от един и същи тип се разбира матрица, която е от същия тип m x n и чиито елементи се получават като суми аij +bij  на съответните по място елементи от двете матрици А=( аij) и В=( bij )

Ако А=(аij), при i=1...m, j=1…..n, e  дадена матрица, то нейна противоположна матрица се нарича матрицата  – А@ ( - аij)

Разликата А-В на матрицата А и В  се нарича матрицата  А- В@ А + ( - В )

За всяка матрица е изпълнено равенството  А+(-А)=0, където –А е противоположната матрица А.

Свойства при събирането на матрици:

1.А+В=В+А

2.(А+В)+С = А+(В+С)

3.За всяка матрица А е изпълнено равенството А+О=А, където О е нулевата матрица от същия тип, тя е единствената матрица със това с-во.

4.За всяка матрица А е изпълнено равенството

А + (-А)=0, където –А е противоположната матрица на матрицата А, матрицата

–А е единствената матрица със това с-во.

Произведение на матрица със чесло l

Под произведение lА на число lс матрицата  се разбира матрицата lА, която се получава от дадената  като умножим всичките й елементи с числото l

Свойства:

1.lА=Аl

2.l(mА)=( lm )А

3.l(А+В)=lА+lВ

4.(l+m)А=lА+mВ

5.0.А=0

61.А=А

7(-1)А=-А

8.А-В=А+(-В)=А+(-1)В

Произведение С = АВ на матриците А и В  Умножението на матриците се извършва ред по стълб. Това умножение е възможно когато броят на  стълбовете на първата е равен на броя на редовете на втората матрица.

Свойства на умножението на матриците.

Обратна матрица –казваме че една квадратна матрица В е обратна на дадена квадратна матрица А, ако  са изпълнени  равенствата АВ=ВА=Е, където Е е  единичната матрица от същия ред, както А и В. Когато матрицата има обратна, А се нарича обратима матрица.

Т1 една квадратна матрицаА е обратима тогава и само тогава, когато нейната детерминанта|А|¹0.В частност матрицата , чиято детерминанта е равна на 0 не са обратимит.е те нямат обратна матрица.

Метод на Гаус- Джордан за намиране на обратна матрица-Ако детерминантата½А на матрицата  А е различана от нула , то с еквивалентни преобразования на редовете винаги  можем да преобразуваме разширената матрица(А½В) до матрицата от вида (Е½Х) в която отляво на вертикалната черта се намира единичната матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 4.

Полиноми- на X от степен n се нарича израза Pn(x)= a0xn + a1xn-1 + …. + an-1x + an

Kоефициент на реалните числа Pn(x)=0

Делене на полиноми

R(x)= Pn(x)/Qm(x)= q(x) + r(x)/Qm(x)

Разлагане на рационална функция на елементарни дроби

R(x)= Pn(x)/Qm(x)

  1. Ако n > m се извършва деленето  и се отделя цяла част плюс остатъка върху Qm и последната дроб се разлага.
  2. Намират се реалните корени на Qm и съответно и комплексните корени a+bi, a-bi. Нека има само 2 комплексни корена знае се че те са комплексно спрегнати имагинерни части.[x-(a+bi)].[x-(a-bi)]= x2 – 2ax +c
  3. r(x)/Qm(x)=
  4. допускаме че има неопределени коефициенти А,B,D,E,F – и търсим представяне на нашата дроб във вида                                               .                                                    .
  5. Привеждаме под общ знаменател
  6.  Съкращаваме знаменателите
  7. Изразяваме двата полинома, които са се получили Rx като подредим по степените на x и изравняваме изравняваме степените пред коефициента х.

Схема на Хорнер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 2 Детерминанти .Квадратна матрица от n- ред се нарича всяка правоъгълна таблица състояща се  от n ²  числа, аi¡ = 1......n, разположени в n хоризонтални реда и n вертикални стълба. Детелминатата от n – ред , съответваща на квадратната матрица А  се нарича число , което се означава  с |А| и което се съпоставя на матрицата А по определено правило.

Детерминантата от втори ред, съответваща на квадратната матрица

А=( aıı,aı2)

( a2ı,a22) се нарича числото |А|=aııa22- aı2 a2ı

формули на Крамер

cı     bı

х =   c2    b2    

aı     bı

a2    b2

 

aı      cı

y =   a2      a2

aı       bı

a2       b2

Използват се за решения на с-ми линейни уравнение , тя има единствено решение тогава и само тогава когато детерминатата е различна от нула.

Детерминанти от трети ред, те са сума от 6 събираеми

Детерминати от n ред, свеждат се до детерминанти от по нисък ред.Подетерминатата или минор Δij на елемента aij намиращ се i- ред j- стълб на детерминатата. Се нарича детерминатата от (n-1)- ви ред, която се получава, като в нея се премахват i-  ред и j-стълб.

Адюигирано к-во Aij, на елемента aij, намиращ се i- тия ред j-тия стълб на една детермината се нарича числото т. е поддетерминатата Δij, взета със знак плюс или минус, в зависимост от това дали сумата i+j от номерата на реда  и стълба е четно или нечетно число.

Свойства на детерминатите

1.При транспониране детерминатата не променя стойността  си , т. е в сила е равенството |A|=|A`|(Δ=Δ`)

2.Ако всички елементи на едни ред  умножим с едно исъщо число, то и детерминатата  се умножава стова число.

3.Ако елементите на един ред са сборове от по две събираеми, то детерминатата може да се представи  като сума от две детерминати, вкоито елементите на разглеждания ред са съответно първите и вторите събираеми на първоначалния ред , а всички останали редове остават непроменени.

4.Ако в един ред на детерминатата има само нули, то детерминатата е равна на нула.

5.Ако в една детермината разменим местата на два реда детерминатата променя знака си.

6.Детермината в която в   която има два равни или пропорционални реда е равна на нула.

7.Д не променя стойността си, ако към елементите на един ред  прибавим съответните елементи  на друг ред умножени със едно и също число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 6.

Вектор -  насочени отсечки с начало и край могат да се умножават с число, да се събират и вадят.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Въпрос 3.  С-ми линейни уравнения предсавляват произволен брой уравнения от първа степен с произволен брой неизвестни.

Решение на системата се нарича всяко n-орка от числа , които заместени в с-матасъответно вместо нейизвестните xı,x2,...xn, я удовлетворяватт.е. превръщат нейните равенства  във верни числови равенства.

Метод на Гаус – той е общ метод за решаване на системи линейни уравнения.

Две с-ми са еквивалентни, когато имат едно и също множество от решения.Може да има следните еквивалентни преобразувания :

1.Умножаване на кое да е уравнение на системата с произволно число, различно от нула.

2. прибавяне на кое дае уравнение от системата умножено с произволно число към кое да е нейно друго уравнение.

3.Разместване на две уравнения в системата

4.Разместване на събираемите в отелните уравнения, съдържащи нейзвестните хı,x2....xn, включително и прехвърлянето им с обратен знак от другите страни на уравненията.

Последователното изключване на нейзвестните в уравненията на ситемата е известна като метод на Гаус.

Хомогенни ситеми  - когато всичките й свободни членове са равни на нула т.е когато bı=b2=....=bn=0

Съвместима е системата когато има поне едно решение и несъвместима когато няма решения. Една система се нарича определена когато има едно единствено решение и неопределена когато има повече от едно решение. Една жомогенна система винаги е съвместима, тъй като нейно решение е винаги нулевото решение.

 

     

 

Bookmark and Share

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *